Alg10.13

If $(1+x)^n=C_0+C_1 x+C_2 x^2+.......+C_n x^n\,$ then show that $1C_0+2C_1+3C_2+........+(n+1)C_n\,$

Let $S=1C_0+2C_1+....+(n+1)C_n\,$

Then $2S=S+S=(1C_0+2C_1+3C_2+........+(n+1)C_n)+(1C_0+2C_1+3C_2+........+(n+1)C_n)\,$

But $C_0=C_n,C_1=C_{n-1}...C_n=C_0.S_0\,$

$2S=[C_0+2C_1+3C_2+.....+(n+1)C_n]+[C_n+2C_{n-1}+3C_{n-2}+.......+(n+1)C_0]\,$

$C_0(1+n+1)+C_1(2+n)+.....+C_n(n+1+1)\,$

$C_0(2+n)+C_1(2+n)+....+C_n(2+n)\,$

$(2+n)(C_0+C_1+C_2+.....+C_n)=(2+n)2^n\,$

$S=\frac{(2+n)2^n}{2}=2^n+n\cdot 2^{n-1}\,$